Аннотация: В статье подробно рассмотрено явление, получившее название скин или поверхностный эффект, проявляющийся в протекании переменного электрического тока в поверхностном слое волновода, называемом также эффективно проводящим Zэ-слоем. Выполнен анализ основных факторов, влияющих на толщину поверхностного слоя.
Ключевые слова: скин эффект, магнитострикционный угломер, эффективно проводящий слой, поверхностный эффект, математическое моделирование скин эффекта.
Технические науки
УДК 519.711.3
Слесарев Юрий Николаевич
доктор технических наук, доцент,
профессор кафедры “Вычислительные машины и системы”
Пензенского государственного технологического университета
Воронцов Александр Анатольевич
кандидат технических наук,
доцент кафедры “Вычислительные машины и системы”
Пензенского государственного технологического университета
Маркин Евгений Игоревич
студент
Пензенского государственного технологического университета
Slesarev Yuriy Nikolaevich
Doctor of Engineering, associate professor,
professor of "Computers and Systems" department of the
Penza state technological university
Vorontsov Aleksandr Anatolievich
Candidate of Technical Sciences,
associate professor "Computers and systems"
Penza state technological university
Markin Evgeniy Igorevich
student of the Penza state technological university
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА В МАГНИТОСТРИКЦИОННЫХ УГЛОМЕРАХ
RESEARCH OF SUPERFICIAL EFFECT IN MAGNETOSTRICTION GONIOMETERS
Аннотация: В статье подробно рассмотрено явление, получившее название скин или поверхностный эффект, проявляющийся в протекании переменного электрического тока в поверхностном слое волновода, называемом также эффективно проводящим Zэ-слоем. Выполнен анализ основных факторов, влияющих на толщину поверхностного слоя.
Ключевые слова: скин эффект, магнитострикционный угломер, эффективно проводящий слой, поверхностный эффект, математическое моделирование скин эффекта.
Summary: In article the phenomenon which has received the name the skin or superficial effect which is shown in course of alternating electric current in the wave guide blanket called by also effectively carrying out Ze-layer is in detail considered. The analysis of the major factors influencing blanket thickness is made.
Key words: skin-effect, magnetostriction tiltmeter, effectively conductor layer, superficial effect, mathematical modeling of skin-effect.
Одним из факторов, который необходимо учитывать при расчетах магнитных полей магнитострикционных преобразователей, в частности магнитострикционных наклономеров, является поверхностный эффект [1-3]. Он проявляется в неравномерном распределении переменного тока по сечению волновода (ВЛ) из-за индукционного взаимодействия различных элементов тока между собой, что приводит к сосредоточению электрического тока в поверхностном слое, называемом также эффективно проводящим zЭ -слоем. Существует множество математических моделей и систем [1-13], в которых необходимо учитывать поверхностный эффект.
Для анализа распределения тока по поперечному сечению ВЛ введем понятие абсолютного значения плотности тока δ, называемого также в дальнейшем плотностью тока.
В цилиндрической системе координат плотность тока определяется согласно выражению[1]:
(d2δ/dr2)+(1/r)∙ (dδ/dr)=jωμaγδ (1)
где r - текущий или рассматриваемый радиус ВЛ; μa и γ – абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость материала ВЛ, μa=μμ0; ω – циклическая частота токового импульса, ω=2∙π∙f, f - частота колебаний токового импульса; j=(-1)1/2 – мнимая единица.
Выражение (1) заменой переменных q=(-jωμaγ) 1/2 можно свести к более простому виду[1]:
(d2δ/dr2)+(1/r)∙ (dδ/dr)+ q 2 δ =0 (2)
или (d2δ/d(qr)2)+(1/qr)∙ (dδ/dr)+δ =0, (3)
являющегося частным случаем уравнения Бесселя.
Решение уравнения (3) может быть найдено в следующем виде [1]:
δ =AJ0(qr)+ BN0(qr), (4)
где A,B – постоянные интегрирования, J0(qr) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, N0(qr) – функция Бесселя нулевого порядка второго рода.
Функция N0(qr) обладает особенностью, заключающейся в том, что при qr =0, т.е на оси ВЛ при r=0 она обращается в бесконечность.
Так как из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе на оси провода, то слагаемое N0(qr) из уравнения (4) можно отбросить, в результате чего оно перепишется в виде [1]:
δ =AJ0(qr). (5)
Для определения постоянной интегрирования A, выразим согласно [1], используя свою систему обозначений, амплитуду токового импульса в ВЛ Im через плотность тока δ:
(6)
откуда искомая постоянная интегрирования A определится как
A=(Im∙q)/(2π∙rВЛ∙∙J1(qrВЛ)) (7)
Плотность тока δ, определяемая уравнением (5), с учетом значения постоянной интегрирования A, полученного в (7), перепишется следующим образом:
δ =Im∙q∙J0(qr)/(2π∙rВЛ∙∙J1(qrВЛ)). (8)
На основании формулы (8) было проведено математическое моделирование зависимости плотности тока δ от рассматриваемого (текущего) радиуса ВЛ r для различных значений частоты токового импульса, результаты моделирования которого для значений rВЛ =0,5мм (5∙10-4 м), μa=1,25∙10-4, Im =0,1А, γ=107См/м, приведены на рисунке 1.
Анализ результатов моделирования, приведенных на рисунке 1, позволяет сделать вывод, что с увеличением частоты колебаний токового импульса f происходит резкое увеличение плотности тока вблизи поверхности ВЛ, что приводит к уменьшению толщины эффективно проводящего zЭ -слоя. Так, на частоте 100КГц указанная толщина составляет 0,2мм при радиусе ВЛ rВЛ =0,5мм, причем на глубине 0,1мм значение плотности тока уже уменьшается на порядок по сравнению с его значением на поверхности ВЛ.
Рис. 1. Зависимость плотности тока от частоты токового импульса и расстояния от оси цилиндрического ВЛ в плоскости его сечения
Для расчетов толщины эффективно проводящего zЭ -слоя возможно использование следующего известного выражения [1]:
zЭ =(2/(ωμaγ)1/2, (9)
где γ - удельная проводимость, измеряемая в См/м.
На основании формулы (9) было проведено моделирование зависимости толщины эффективно проводящего zЭ -слоя от частоты колебаний токового импульса, результаты моделирования которого приведены на рисунке 2. Анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод о необходимости учета поверхностного эффекта при моделировании магнитных полей магнитострикционных приборов уже на частотах составляющих десятки КГц.
Анализ результатов моделирования, приведенных на рисунках 1 и 2 позволяет сделать вывод, что с увеличением частоты колебаний переменного тока происходит резкое уменьшение толщины эффективно проводящего zЭ -слоя. Это должно быть учтено при разработке и анализе конструкций магнитострикционных преобразователей.
Рис. 2. Зависимость толщины эффективно проводящего zЭ -слоя в мм от частоты токовых импульсов в Гц для цилиндрического ВЛ при γ=1,15∙107 См/м, μa=1,25∙10-4
Литература:
