Аннотация: исследованы теоретические вопросы построения графиков с применением MathCad.
Ключевые слова: вектор, плотность заряда, интервал, теорема Остроградского-Гаусса.
Технические науки
УДК 621.3 (075.8)
Моногаров Сергей Иванович
Доцент, кандидат технических наук
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный
технологический университет»
Армавирский механико-технологический институт
Пожидаев Никита Константинович
студент, кафедры внутризаводского
электрооборудования и автоматики,
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный
технологический университет»
Армавирский механико-технологический институт
Monogarov S. I.
Docent, candidate of technology science,
FGBOU VO «KubanState Technological University»
Armavir Mechanical-Technology Institute
Pozhidaev N.K.
Student, Department of Electrical and intra-plant automation,
FGBOU VO «KubanState Technological University»
Armavir Mechanical-Technology Institute
ТЕОРЕМА ГАУССА В РАСЧЕТЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ MATHCAD
THEOREM OF GAUSS TO CALCULATE PROBLEMS TO DETERMINE TENSION WITH THE USE OF MATHCAD
Аннотация: исследованы теоретические вопросы построения графиков с применением MathCad.
Ключевые слова: вектор, плотность заряда, интервал, теорема Остроградского-Гаусса.
К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность со значением заряда q, находящегося внутри этой поверхности.
Теорема Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, окружающую заряды (в вакууме), прямо пропорционален алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0
Для понимания как изменяется напряженность с увеличением расстояния от точечного заряда, аналитически решим задачу и по полученным результатам построим график зависимости E(r)./1/
Заряд равномерно распределен по объему шара радиуса R из непроводящего материала с объемной плотностью заряда ρ. Найдем напряженность поля в точках расположенных на расстояниях: 1) r1 < R; 2) r2 > R.
Поле, созданное таким шаром центрально-симметричное, поэтому напряженность поля можно найдем, используя теорему Гаусса.
1) Поле внутри шара r1 < R. Выберем в качестве замкнутой поверхности S концентрическую сферу радиуса r1. Найдем заряды, находящиеся внутри поверхности радиуса r1 через объемную плотность заряда ρ:
Поток вектора Е через поверхность Sпо теореме Гаусса
2) Поле вне шара r2 > R. Выберем в качестве замкнутой поверхности S′ концентрическую сферу радиуса r2
Заряды, находящиеся внутри поверхности радиуса r2
Поток вектора E через поверхность S' по теореме Гаусса
Таким образом, получили, что поле внутри равномерно заряженного шара растет линейно с расстоянием r от его центра, поле вне шара – поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда./1/
Построим график зависимости E(r) в MathCad(рисунок 1), для этого исследуем поведение функции при следующих условиях: заряд = 1нКл, радиус = 0.5см./3/
Рис. 1. Аналитическое решение задачи в MathCad
Из полученного решения построен график на рисунке 2.
Рис. 2. График зависимости напряженности от расстояния r
В пространстве вокруг электрически заряженного тела существует электрическое поле. Электрическое поле действует на внесенный в него заряд q с некоторой силой F. В электротехнике интенсивность поля характеризуют напряженностью электрического поля Е. Под напряженностью понимают отношение силы F, действующей на заряженное тело в данной точке поля, к заряду q этого тела./2/
С помощью программы MathCad построим график поверхности распределения электрического потенциала и вектор напряжённости электрического поля в области, окружающей заряд. Величины зарядов 1нКл и -1нКл, расстояние между зарядами 0,5м (рисунок 3) и его график (рисунок 4,5)./3/
Рис. 3. Аналитическое решение задачи в MathCad
Рис. 4. Вектор напряжённости электрического поля в области
Рис. 5. График поверхности распределения электрического потенциала
На рисунке 5 изображены две поверхности распределения электрического потенциала, верхняя поверхность направлена к нам, центральная линия (красная) показывает максимальную высоту поверхности, оранжевая линия – высота поверхности меньше чем у красной, зеленая линия – поверхность лежит на оси OX. Нижняя поверхность направлена от нас, темно-синяя центральная линия показывает наибольшую высоту поверхности, противоположено верхней поверхности.
Таким образом, с помощью программы MathCad можно аналитическим методом получать графики зависимости напряженности от расстояния, графики поверхности распределения электрического потенциала и вектор напряженности магнитного поля.
Литература:
