Аннотация. В данной работе показано, что при определенных условиях на начальные данные, бесконечная связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями эквивалентная начально-граничной задаче для уравнения балки имеет решение. Методом энергетических неравенств доказывается, что обсуждаемая бесконечная система квазилинейных уравнений имеет решение. Полученных результатов достаточно, чтобы доказать существование решения начально-граничной задачи для уравнения балки.
Ключевые слова: уравнение колебания балки, квазилинейное уравнение, метод энергетических неравенств.
Физико-математические науки
УДК 517.95
Акимов Андрей Анатольевич
кандидат физико-математических наук,
Стерлитамакский филиал БашГУ
Агафонова Алена Александровна
студент, Стерлитамакский филиал БашГУ
Akimov A.A.
Bashkir state university Sterlitamak branch
Agafonova A.A.
Bashkir state university Sterlitamak branch
ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЭНЕГЕТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАЛКИ
Аннотация. В данной работе показано, что при определенных условиях на начальные данные, бесконечная связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями эквивалентная начально-граничной задаче для уравнения балки имеет решение. Методом энергетических неравенств доказывается, что обсуждаемая бесконечная система квазилинейных уравнений имеет решение. Полученных результатов достаточно, чтобы доказать существование решения начально-граничной задачи для уравнения балки.
Ключевые слова: уравнение колебания балки, квазилинейное уравнение, метод энергетических неравенств.
Summary: In this paper it is shown that under specified conditions on the initial data a certain infinite coupled system of ordinary differential equations has a solution satisfying an auxiliary convergence condition. The infinite system discussed is essentially the Galerkin expansion of the solution to a given quasi-linear e equation. The results obtained suffice to prove the existence of a solution to this equation of oscillations of a beam.
Keywords: quasi-linear wave equation, method of energy inequalities, equation of oscillations of a beam.
Целью данной работы является доказательство существования решения для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
где которые удовлетворяют начальным данным
(1.2)
и дополнительному условию
Бесконечная система (1.1) связана с квазилинейным уравнением
(1.4)
На самом деле, чтобы доказать существование решения задачи (1.1), удовлетворяющего (1.2) и (1.3), достаточно доказать существование классического решения (1.4), удовлетворяющего начальным данным и граничным условиям
(1.6)
В нашем случае достаточно заметить, что если уравнение (1.4) имеет достаточно дифференцируемое решение, удовлетворяющее граничным условиям (1.6), то это решение может быть записано в виде
Систему уравнений (1.1) можно получить, формально подставив ряд Фурье в (1.4), умножив на и, проинтегрировав полученное выражение от 0 до π. Похожие результаты для более элементарных уравнений были получены ранее в работах [1] , [2] также поставленные проблемы обсуждались в работах [3], [4] и [5]. Вопрос существования решений уравнения вида (1.4) рассматривался в [7], [8] и [9].
Для того, чтобы доказать существование решения (1.1) удобно начать с обсуждения соответствующих конечных систем уравнений. Определим функции , как решения системы.
Существование решения системы (2.1) следует из теоремы Пикара, так как правая часть удовлетворяет условию Липшица(постоянная Липшица зависит от N).
Поэтому можно использовать метод последовательных приближений для доказательства существования локального решения (см. [6]), а продолжение решения для всех следует из того факта, что система (2.1) является Гамильтоновой системой, т. е. решения (2.1) удовлетворяют энергетическому тождеству.
Указанная выше процедура не может быть применена непосредственно к бесконечной системе (1.1). Таким образом, необходимо показать, что решение конечной системы (2.1) сходится к решению бесконечной системы (1.1) при
Если сходится как , т.е. если то из (2.2) следует, что и равномерно ограниченны независимо от N. Тогда, из леммы Арцела -Асколи (см. [6]) следует, что на любом замкнутом полуинтервале ( достаточно большое) существует подпоследовательность которая сходится равномерно к непрерывной функции на интервале Для того, чтобы доказать, что функции является решениями (1.1) необходимо получить более точные оценки для функций чем следует из их энергетических равенств (2.2). Необходимые оценки можно получить путем умножения (2.1) на и суммированием по всем j. Результирующее выражение может быть записано в виде
Уравнения (2.5) и (2.8) означают, что решения системы (2.1) удовлетворяют тождеству
Далее оценим правую часть (2.10) через интеграл энергии. Отметим что, поскольку, то из теоремы Ролля следует существование точек и таких, что
Неравенства (2.11), (2.12) и (2.13) дают точную оценку через интеграл энергии . Таким образом
Первый член в правой части (2.9) может быть оценен как
Второй член в правой части (2.9) после интегрирования по частям будет иметь оценку
Учитывая неравенство (2.15) и (2.16) тождество (2.9) может быть заменено на следующее неравенство
Неравенство (2.17) дает требуемую оценку .
Лемма 1. Предположим
т.е., что сходится при . Тогда равномерно ограничена независимо от N на любом сегменте где
Доказательство. Неравенство (2.20) эквивалентно
(2.21)
Лемма вытекает после взятия предела при . ч.т.д.
Оценка является ключевым моментом в доказательстве того, что функции т.е. пределы подпоследовательности , являются решениями (1.1). На самом деле этот результат является следствием следующих двух лемм, которые мы приведем без доказательства:
Лемма 2. Если (см. (2.21)), то бесконечный ряд сходится в промежутке
Лемма 3. Если то функции и сходятся к и , при для любого t в промежутке
Теорема 1. Функции это решения системы уравнений (1.1), удовлетворяющие начальным условиям (1.2) и условию (1.3) в интервале если
Доказательство. Функции удовлетворяют интегральному уравнению Вольтерра
для Покажем, что функции удовлетворяет аналогичному уравнению. Справедливы следующие оценки
(2.25)
Правая часть (2.25) стремится к нулю при . Поэтому имеет вид
(2.26)
Дифференцируя последнее равенство, приходим к требуемому утверждению.
Список литературы
